MATHÉMATIQUES
Les multizêtas sortent de l'ombre

mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°464 daté mai 2012 à la page 18 (660 mots) | Gratuit
Introduits par Euler au XVIIIe siècle, les nombres multizêtas ont ressurgi récemment dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique. Francis Brown vient de montrer qu'ils s'écrivaient comme combinaison linéaires les uns des autres.

Qu'avez-vous montré sur les nombres multizêtas ?

F.B. Commençons par définir leur version plus simple, les nombres zêtas : ce sont les sommes infinies des inverses des puissances entières. Par exemple z(2) est la somme des inverses des carrés des entiers ; z (3) est la somme des inverses des cubes. Les nombres multizêtas sont calculés de la même manière, excepté que la somme n'est pas une somme simple, mais une somme multiple : on fait la somme sur 2, 3, 4... autant de valeurs que l'on veut. Par exemple, si l'on fait la somme sur les valeurs 2 et 3, z(2,3) est la somme des produits des inverses des carrés et des cubes (). Du coup, ils sont plus nombreux que les nombres zêtas. Il s'agit d'une énorme classe de nombres réels sur lesquels j'ai démontré que tout nombre multizêta est une combinaison linéaire d'une sous-famille particulière de multizêtas [1]. En termes mathématiques, on dit que l'on possède un système générateur explicite de tous ces nombres, une sorte de base.

Pourquoi ces nombres multizêtas sont-ils importants ?

F.B. Les nombres multizêtas ont été introduits par Euler en 1734 pour expliquer les nombres zêtas, avant de tomber dans l'oubli. Redécouverts dans les années 1990 par Don Zagier, ils sont apparus dans divers domaines des mathématiques et de la physique. En particulier, ces nombres expriment des valeurs d'intégrales utilisées pour faire des calculs en théorie quantique des champs, nommées intégrales de Feynman (lire « Des multizêtas partout en physique ? », ci-contre). La nature connaît ces nombres, et, si on ne les avait pas trouvés en mathématiques, on aurait dû les découvrir en physique.

Quels sont les liens entre nombres zêtas et multizêtas?

F.B. Euler a calculé que z(2) vaut 2/6. De la même façon, il a montré que tous les zêtas pairs (de 2, 4, 6...) étaient des puissances de . Pour les zêtas impairs, il n'existe rien de tel. Euler avait introduit les multizêtas comme objets pour comprendre les relations entre zêtas, et il en existe de nombreuses. Par exemple, on peut écrire z(1,3)= z(2)2/10. Et même si Euler n'a pas réussi à trouver de relations entre zêtas impairs, considérer les nombres zêtas comme un cas particulier des multizêtas a permis d'écrire de nombreuses conjectures. Depuis, il a été prouvé que z(3) est un nombre irrationnel (ce n'est pas une fraction). Si la démonstration est astucieuse, on ne peut la généraliser. On sait qu'il y a une infinité de zêtas impairs irrationnels, mais on ne sait pas dire si z(5) l'est, par exemple. De même, la question de savoir si les nombres multizêtas ne sont pas solution d'une équation algébrique (autrement dit, s'ils sont transcendants) reste posée.

Quels étaient vos outils pour trouver les relations entre les nombres multizêtas ?

F.B. L'histoire remonte à l'« esquisse d'un programme », oeuvre majeure d'Alexander Grothendieck proposée en 1984, dont l'un des objectifs était de comprendre de manière générale l'action d'un groupe (le groupe de Galois absolu) sur les nombres algébriques et de relier cela à la géométrie. Pierre Deligne a repris ce programme, qui n'a pas abouti du point de vue du problème initial, mais qui a permis de développer un arsenal de techniques à travers la « théorie des motifs ». C'est cet arsenal que j'ai utilisé pour trouver une classe de nombres conjecturés par Pierre Deligne et Yasutaka Ihara et qui sont précisément les multizêtas. L'existence d'une base explicite pour les multizêtas en est un corollaire. On peut aussi voir tous ces résultats issus de la théorie des motifs comme une ébauche d'une théorie de Galois pour les nombres transcendants, qui serait le pendant de la théorie algébrique des nombres qui, elle, est bien comprise.

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

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MATHÉMATIQUES
Une conjecture invalidée

mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°463 daté avril 2012 à la page 18 (624 mots) | Gratuit
Plusieurs contre-exemples ont invalidé une conjecture géométrique proposée il y a cinquante-cinq ans.

Sur quoi porte la conjecture que vous avez infirmée ?

F.S. Chacun connaît les polyèdres, tels le cube ou le tétraèdre, de dimension 3. Les mathématiciens, eux, peuvent travailler avec des objets équivalents dans n'importe quelle dimension : des « polytopes ». Sur ces polytopes, on définit également des sommets, des arêtes et des faces, dont les dimensions sont en rapport. Surtout, on définit le diamètre d'un polytope, la mesure de la distance maximale entre deux sommets. Si l'on prend l'analogie d'un réseau d'aéroports sur le globe terrestre qui est comme le graphe d'un polytope, l'ensemble de ses sommets et arêtes, le diamètre est le nombre maximal de vols à effectuer pour voyager entre deux aéroports quelconques. En 1957, le mathématicien américain Warren Hirsch a conjecturé que ce diamètre était au plus égal à n - d, où n est le nombre de faces du polytope et d sa dimension. J'ai montré que cette conjecture était fausse en trouvant des contre-exemples : des polytopes pour lesquels le diamètre est supérieur à n - d.

Pourquoi s'intéresser à cette conjecture ?

F.S. Elle avait été prouvée en dimension 3. Toutefois, dans les dimensions plus grandes, des doutes subsistaient. Et ce problème intéresse aussi les spécialistes de combinatoire en raison de son lien avec l'« algorithme du simplexe », sans doute la technique la plus utilisée dans l'industrie pour faire de l'optimisation linéaire un problème d'optimisation où l'on minimise une fonction linéaire. Un polytope peut en effet se définir comme un ensemble d'inégalités linéaires. Du coup, l'algorithme du simplexe consiste à se déplacer sur le graphe d'un polytope de manière à maximiser une fonction linéaire ; or dans le pire des cas, ce chemin va être le diamètre du polytope, puisque c'est la plus grande distance entre deux sommets, d'où l'importance de savoir comment ce diamètre varie en fonction du polytope.

Comment avez-vous fait ?

F.S. Les contre-exemples sont si gros qu'on ne peut pas les calculer explicitement. L'idée consiste à partir d'un polytope de dimension 5 et de 48 faces, la plus grande dimension traitée explicitement. On procède ensuite par une série de transformations qui permettent d'augmenter la dimension petit à petit. À chaque transformation, la dimension croît d'une unité, et le nombre de sommets double. Le point crucial est de comparer à chaque étape le diamètre du polytope à n - d lire « Transformation des polytopes », ci-contre. En répétant cette transformation 38 fois, j'ai trouvé un polytope de dimension 43 et de 86 faces, dont le diamètre est plus grand que 86 - 43, soit 43 [1] . Ensuite, avec d'autres mathématiciens, nous avons exhibé un polytope de dimension 20 à 40 faces, dont le diamètre est supérieur à 20 [2] .

Ce polytope de dimension 20 est-il le plus petit contre-exemple ?

F.S. Il n'y a aucune raison pour qu'il le soit. Il y a plein de place entre la dimension 3 et la dimension 20. Mon intuition serait même qu'il pourrait y avoir un contre-exemple de dimension 4 ou 5. Toutefois, la méthode de perturbation que nous avons utilisée est spécifique, et nous l'avons poussée au bout, de sorte que je ne suis pas certain qu'elle permette d'en trouver de plus petits.

Votre résultat aura-t-il des implications en optimisation linéaire ?

F.S. Pas directement, mais il casse une barrière psychologique en montrant que cette conjecture, qui a résisté pendant plus de cinquante ans, est fausse. Ensuite, il permet de se poser d'autres questions plus générales concernant le diamètre des polytopes, en lien avec les problèmes d'optimisation linéaire. Ce diamètre varie-t-il linéairement avec la dimension ? Peut-ontrouver une relation polynomiale entre le diamètre et la dimension ? Pour l'instant, nous n'en avons aucune idée.

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

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Françoise Monfort - 18/11/2010

Pierre Alliez : un pionnier dans le traitement numérique de la géométrie

Pierre Alliez
Pierre Alliez est un pionnier : lorsqu’il a commencé ses recherches - après un stage de master à l’Inria avec Olivier Devillers et une thèse chez France Telecom R&D et à l’école Telecom Paris Tech - la thématique sur laquelle il travaillait ne portait pas encore de nom. Aujourd’hui, alors que le traitement numérique de la géométrie est reconnu en tant que domaine scientifique, il propose IRON (Robust Geometry Processing), un projet qui lui a valu la prestigieuse bourse ERC 2010 dans la catégorie « jeunes chercheurs ». Rencontre avec le chercheur.

« Pendant mon post-doc à l'université of Southern California où j’ai travaillé avec Mathieu Desbrun, professeur au California Institute of Technology  » explique Pierre Alliez, « j’ai commencé à renforcer et à identifier cet axe qui n’était pas un domaine à part entière. A l’époque il s’agissait soit d’informatique graphique soit de géométrie algorithmique. Mais à partir de 2003, une communauté a commencé à se construire autour du traitement numérique de la géométrie. Quand j’ai postulé ensuite à l’Inria Sophia-Antipolis fin 2001, Jean-Daniel Boissonnat, responsable de l’équipe PRISME, a accueilli mon projet de recherche avec enthousiasme. Cette équipe est devenue GEOMETRICA. Elle a pour but de développer une approche axiomatique du calcul géométrique. C’est à l’Inria que se situe l’avant-garde de l’informatique. Lorsque j’ai présenté mon dossier pour la bourse ERC, et ce sans aucune obligation de résultat de leur part, l’institut m’a témoigné le même enthousiasme et la même confiance, ce qui est plutôt agréable, surtout lorsqu’on apprécie de travailler dans l’autonomie comme c’est mon cas  ».

La numérisation de la géométrie , selon Pierre Alliez et Mathieu Desbrun, consiste à concevoir l’analogue du traitement du signal pour des formes 3D. Pour ces deux chercheurs, ce serait la suite logique de la numérisation du son dans les années 70-80, puis de l’image et enfin de la vidéo dans les années 2000. Le traitement numérique de la géométrie a cependant pour corrélation le traitement de données de plus en plus hétérogènes et incertaines. « Le premier enjeu de cette recherche tient au fait que nous sommes face à un paradoxe technologique », déclare le chercheur, « nous pensions que les données allaient suivre l’évolution des capteurs mais ce n’est pas le cas. Elles demandent de plus en plus de traitement, n’ont jamais été aussi imparfaites qu’aujourd’hui du fait de la diversification des modes d’acquisition, et du changement des usages (super-résolution, et nouveaux paradigmes d’acquisition comme les données communautaires type flicker) ».

  Un gain de temps de 3 semaines de traitement de données avant simulation 
La solution IRON  propose des algorithmes robustes, tolérants, capables de résister à l’imperfection et à la diversité de n’importe quelle sorte de données, et ce en rupture avec la méthodologie courante qui consiste à réparer, convertir ou faire le tri dans les données avant traitement. « C’est là que se situe le verrou technologique lié à IRON, notre enjeu numéro 2 ». L’autre enjeu est d’ordre sociétal, un concept que Pierre Alliez nomme « nouvelle frontière » et auquel il tient particulièrement. « Après l’ère du sur-mesure réservé autrefois à une élite puis celle de la fabrication de masse, je suis convaincu que nous sommes en train de passer à l’ère du sur-mesure de masse. Ce projet ne va pas changer la société mais va peut-être y contribuer ». Ces algorithmes « costauds » vont devoir faire le poids face au traitement numérique de la géométrie qui aura des applications multiples. Notamment pour les ingénieurs, automobiles ou aéronautiques entre autres, qui pratiquent l’ingénierie numérique et qui vont gagner en efficacité.

L'ingénierie numérique  substitue à la fois le modèle numérique au prototype physique, et le calcul à l'expérience. Ainsi, l'ingénieur accélère le cycle de conception en « essayant le réel », pour mieux concevoir et anticiper. Toutefois, et bien que la simulation soit utilisée en routine, la conversion d’un modèle CAO final (du point de vue de la production) en un modèle prêt pour la simulation nécessite 3 semaines de traitement interactif de type essai-erreur pour convertir, ce qui freine considérablement le vrai potentiel de l’ingénierie numérique. La mission initiale de l’ingénierie numérique était de faire un aller-retour entre modélisation et simulation. Pour exemple, les résultats de la simulation -qui prend 5000 heures de calcul parallèle mais 1 heure d’horloge murale- suggèrent de soulever un capot de 5 cm, et donc de revenir au dessin, mais comme chaque retour à la simulation prend 3 semaines, la conception s’en trouve ralentie.

Concrètement, IRON signifie pour les ingénieurs un gain de temps de 3 semaines de traitement de données avant simulation. C’est le premier pas du sur-mesure de masse qui va également s’appliquer à la médecine, à la simulation (pour la ville durable, la géologie) et à l’architecture dite forme libre. C’est aussi la promesse liée à l’ERC de Pierre Alliez qui se donne 5 ans pour y parvenir.

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MATHÉMATIQUES

Des signaux comprimés à l'enregistrement

mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°445 daté octobre 2010 à la page 20 (601 mots) | Gratuit
Le monde du traitement du signal ne parle que de cela : une nouvelle méthode d'acquisition de données nommée « acquisition comprimée » permet de reconstruire un signal que l'on n'a pas enregistré complètement. Les premières applications sont en service.

À quoi sert l'acquisition comprimée ?

E.C. Par exemple, en janvier 2010, à l'hôpital de l'université Stanford, un enfant de deux ans avait besoin d'une image à très haute résolution de son foie en imagerie par résonanace magnétique IRM. Pour obtenir une telle image, il fallait que l'enfant reste immobile et donc qu'il ne respire presque plus. Or, l'anesthésie profonde pour l'empêcher de bouger ne pouvait pas durer plus de 40 secondes. Alors qu'une IRM normale aurait nécessité 2 minutes, un appareil équipé d'un algorithme d'acquisition comprimée a enregistré une image dans le temps imparti. D'autres applications sont à l'étude, notamment pour les convertisseurs analogiques-numériques, des circuits électroniques qui sont dans tous les appareils numériques téléphones portables, ordinateurs, etc..

Quelle est l'idée générale de l'acquisition comprimée ?

E.C. Prenons l'exemple des appareils de photographie numériques. Ils enregistrent des images à l'aide d'un capteur CCD de 10 millions de pixels environ, mais un algorithme comprime immédiatement ces images : au final, à peu près 5 % des mesures initiales sont conservées en mémoire. Pourquoi prendre autant de mesures, avoir tant de capteurs, quand on sait que l'on va jeter la majeure partie de ce qu'on a enregistré ? Ce n'est pas tant que l'on a envie de gaspiller, mais c'est que la compression fonctionne ainsi : pour décider ce que l'on peut éliminer dans l'image sans perte perceptible, il faut avoir initialement accès à tout le signal. L'acquisition comprimée Compressed Sensing , en anglais élimine cette nécessité. On peut, pour la plupart des images, récupérer uniquement les données utiles sans regarder l'image. Et cette idée se généralise à la plupart des signaux.

Comment avez-vous découvert l'acquisition comprimée ?

E.C. La nécessité que j'évoquais n'est pas gênante pour les appareils photo, où les capteurs CCD ne coûtent pas cher et où l'acquisition est rapide. En revanche, il existe des applications où l'obtention d'un seul pixel d'une image prend du temps. C'est le cas de l'IRM. Cet outil d'examen médical est limité : les images de très haute résolution, qui permettent de voir des détails fins, sont très longues à obtenir. En 2004, j'ai été approché par des radiologues de l'université du Wisconsin préoccupés par ce problème d'accélérer la prise de données dans l'IRM. Accélérer, cela veut dire prendre moins de points de mesure. Ces radiologues m'ont donc envoyé des images avec moins de points qu'ils m'ont demandé de reconstruire. J'ai alors utilisé une méthode de minimisation des fonctions convexes la minimisation l1 déjà connue dans un autre contexte dont je pensais qu'elle pourrait réduire certains défauts observés. Et là, surprise : j'ai vu apparaître une image parfaitement nette. C'est comme si on m'avait donné 5 % des pixels d'une photographie et que je parvenais à reconstruire les 95 % manquant.

Votre résultat a-t-il tout de suite convaincu ?

E.C. Pas du tout, j'étais moi-même étonné. Cela avait quelque chose de magique. Convaincu que cela fonctionnait, j'ai ébauché une théorie. Ayant rencontré fortuitement à ce moment-là Terence Tao, de l'université de Californie et médaille Fields 2006, je lui ai parlé de ce résultat. Sa première réaction a été dubitative. Après avoir tenté sans succès de trouver un contre-exemple, il a fini par accepter mes arguments. Deux jours après, il m'avait envoyé des notes avec un bond significatif par rapport à l'ébauche de théorie. Ce fut cette preuve, un peu améliorée, que nous avons publiée ensuite, également avec Justin Romberg, qui travaillait avec moi [1] .

 Propos recueillis par Philippe Pajot

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