Équation diophantienne

Édition de 1670 des Arithmétiques de Diophante.
Une équation diophantienne, en mathématiques, est une équation dont les coefficients sont des nombres entiers et dont les solutions recherchées sont également entières. Le terme est aussi utilisé pour les équations à coefficients rationnels. Les questions de cette nature entrent dans une branche des mathématiques appelée arithmétique.

Si l'expression du problème posé est parfois simple, les méthodes de résolution peuvent devenir complexes. Carl Friedrich Gauss, un mathématicien du xixe siècle, disait des problèmes de cette nature : « Leur charme particulier vient de la simplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves1. »

Certaines équations diophantiennes ont demandé pour leur résolution les efforts conjugués de nombreux mathématiciens sur plusieurs siècles. Gauss se plaignait « des efforts démesurés que lui a coûté la détermination d'un signe d'un radical dans la théorie des nombres ; bien d'autres choses ne l'ont pas retenu autant de jours que cette question l'a retenu d'années2. » Le dernier théorème de Fermat est un exemple archétypal, il est conjecturé par Pierre de Fermat et résolu en 1994 par Andrew Wiles après 357 ans d'efforts de la part de nombreux mathématiciens.

L'intérêt de la résolution de questions de cette nature réside rarement dans l'établissement d'un théorème clé pour les mathématiques, la physique ou les applications industrielles, même s'il existe des contre exemples comme la cryptologie, qui fait grand usage du petit théorème de Fermat. Leur analyse amène le développement d'outils mathématiques puissants dont l'usage dépasse le cadre de l'arithmétique. Les formes quadratiques sont à cet égard exemplaires. La richesse et la beauté formelle des techniques issues de la résolution d’équations diophantiennes fait de l'arithmétique la branche « reine des mathématiques » pour David Hilbert2.

Ce type d'équation doit son nom au mathématicien grec Diophante d'Alexandrie, un mathématicien vivant à une date incertaine, probablement autour du iiie siècle. Il est l'auteur d'un traité, Arithmétiques, étudiant des questions de cette nature.

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MATHÉMATIQUES
Des empilements de figures géométriques toujours plus denses

mathématiques - par Propos recueillis par Mathieu Nowak dans mensuel n°435 daté novembre 2009 à la page 20 (580 mots) | Gratuit
Le plus dense empilement de sphères est le réseau cubique à faces centrées. Cette conjecture, formalisée par Kepler en 1610, n'a été démontrée par Thomas Hales qu'en 1998. Que se passe-t-il avec d'autres solides ? Faute de théories, les chercheurs font appel à la simulation.

Deux scientifiques de Princeton ont révélé de nouveaux empilements de solides très denses en faisant appel à des simulations informatiques. Comment peut-on formuler le problème auquel ils s'attaquent ?

M.B. Il s'agit de la question ancienne de la densité : comment peut-on remplir au mieux un espace de dimension donnée avec des objets de même forme ? L'exemple classique est celui de l'empilement d'oranges ou de boulets de canon : comment le rendre le plus dense possible ? Simple d'énoncé, ce problème est redoutablement compliqué. La réponse, l'empilement cubique à face centrée, avait été conjecturée par Kepler. Mais ce n'est que quatre siècles plus tard que Thomas Hales l'a démontré.

Pour bien comprendre ce problème, il faut faire attention à la notion de la densité d'un empilement. La meilleure définition peut s'énoncer ainsi : on prend une boule de rayon R et l'on fait grandir ce rayon. On remplit cette boule de sphères de rayon 1. La densité est le rapport du volume de la boule sur celle des sphères lorsque le rayon de la boule tend vers l'infini.

Pourquoi n'arrive-t-on pas à venir à bout de la question pour d'autres formes géométriques que des boules ?

M.B. Parce que c'est trop compliqué ! On sous-estime le travail de Thomas Hales. D'où vient la difficulté lorsque l'on cherche le meilleur empilement ? On travaille d'abord dans le plan : on montre que l'on obtient la plus grande densité avec des triangles équilatéraux - dont les sommets correspondent aux centres des disques l'équivalent de boule à deux dimensions. Ensuite, il y a deux façons de poser sur ce premier tapis un second tapis du même type. Quand on continue, il y a donc une infinité de choix d'empilements non périodiques de même densité. Or Hales a montré que, d'une part, cette densité est la meilleure possible, et, d'autre part, qu'elle ne peut être obtenue qu'avec de tels empilements !

Quand on passe de la sphère à une autre forme de solide, on ajoute la question de l'orientation de chaque solide et l'interaction entre les arêtes. Les paramètres à prendre en compte deviennent beaucoup trop nombreux.

Selon ces nouveaux résultats, le cas du tétraèdre est particulier car c'est le seul pour lequel on n'obtient pas la densité maximale lorsque les solides sont ordonnés selon un réseau. Cela vous surprend-il ?

M.B. Non, Claude Ambrose Rogers avait déjà conjecturé que les empilements réguliers ne sont pas les meilleurs quand la dimension devient assez grande : on obtient une densité plus grande pour des alignements non périodiques. En trois dimensions, on a récemment montré qu'avec des ellipsoïdes de grande excentricité on obtient une densité plus grande lorsqu'on s'éloigne du réseau cubique à faces centrées. Le tétraèdre, qui n'a pas de symétrie centrale, est donc un nouvel exemple de densité maximale avec des empilements non réguliers.

Que penser du fait de recourir à la simulation ?

M.B. Cette manière de procéder donne des résultats mais elle ne permettra pas de démontrer des conjectures. Avec les tétraèdres, on avait obtenu un remplissage de l'espace de 71,75 % en 2006, de 77,86 % en 2008, de 78,20 % maintenant. Les auteurs de la publication ne pourront jamais démontrer que leurs répartitions sont les meilleures. La valeur de la borne théorique nous échappera toujours.

Par Propos recueillis par Mathieu Nowak

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MATHÉMATIQUES
La « conjecture abc » est-elle démontrée ?

mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°469 daté octobre 2012 à la page 18 (629 mots) | Gratuit
Un mathématicien japonais vient d'annoncer avoir résolu une conjecture importante qui généralise notamment le théorème de Fermat. Il faudra sans doute plusieurs années pour confirmer cette démonstration, très hermétique.

Comment énonce-t-on la conjecture abc que le mathématicien japonais Shinichi Mochizuki affirme avoir démontrée?

L.M. Partons du fait que tout entier se décompose comme produit de nombres premiers. On dit qu'un nombre est « rond » si, dans sa décomposition, il y a peu de nombres premiers différents et qu'ils sont petits. Par exemple, 512 = 29 ne possède que 2 comme diviseur premier et est donc rond. Le nombre 106 = (26 x 56) l'est également. À l'inverse 257, qui est premier, ou 1 155 = (3 x 5 x 7 x 11) ne sont pas des nombres ronds. L'idée de la conjecture est que, si a et b sont deux nombres ronds premiers entre eux, leur somme c ne peut pas être un nombre rond. Ainsi l'équation a + b = c a donné son nom à la conjecture, dont l'énoncé peut être rendu plus précis (lire « Les triplets abc », ci-contre).

Dans quelle branche des mathématiques se situe cette conjecture ?

L.M. Il s'agit de la branche de la théorie des nombres qui concerne les équations diophantiennes, équations polynomiales dont les solutions sont des nombres entiers. C'est une branche ancienne des mathématiques, puisque Diophante d'Alexandrie posait déjà dans son ouvrage Arithmetica de tels problèmes au IIIe siècle de notre ère. Un exemple très connu d'un tel problème est le théorème de Fermat-Wiles : il n'existe pas d'entiers x, y et z non nuls solutions de xn + yn = zn dès que n vaut au moins 3. Pierre de Fermat a énoncé ce problème dans la marge de son exemplaire de l'Arithmetica en 1637, et Andrew Wiles l'a démontré en 1994. Il s'agit de problèmes en général faciles à énoncer, mais très difficiles à résoudre.

Pourquoi y a-t-il eu une telle effervescence à l'annonce de la résolution de la conjecture abc ?

L.M. Proposée en 1985 par David Masser et Joseph Oesterlé, cette conjecture, si elle est démontrée, serait un outil puissant pour résoudre de nombreuses équations diophantiennes et d'autres problèmes de la théorie des nombres. Par exemple, le théorème de Fermat-Wiles ou le théorème de Faltings sur le nombre de solutions d'une équation diophantienne, qui a valu à son auteur, le mathématicien allemand Gerd Faltings, la médaille Fields en 1986, résultent relativement facilement de la conjecture abc.

Y a-t-il déjà eu des tentatives de démonstration de cette conjecture ?

L.M. À un triplet abc, on peut associer une courbe elliptique (l'équation y2

= x(x - a)(x + b)). Or, Andrew Wiles et d'autres ont établi un lien entre les courbes elliptiques et les formes modulaires. Comme ce lien a permis de démontrer le théorème de Fermat, on espérait que la voie était ouverte vers la conjecture abc. Ce programme de recherche a permis de résoudre quelques variantes du problème de Fermat. Mais on est resté loin de la conjecture abc.

Qu'en est-il de la preuve de Shinichi Mochizuki ?

L.M. Le cas est assez atypique. Si on compare à l'annonce de la démonstration du théorème de Fermat par Andrew Wiles, on constate qu'à l'époque de nombreux mathématiciens étaient équipés des mêmes techniques que celles employées par ce dernier. À l'inverse, Shinichi Mochizuki a adopté une approche personnelle et a construit sa propre théorie au cours d'une décennie au moins. La communauté mathématique doit maintenant se familiariser avec ce travail de construction pour juger du bien-fondé de la preuve, qui comprend une série de quatre articles qui eux-mêmes reposent sur des travaux antérieurs. Cela correspond en tout à plusieurs centaines de pages. Il y a une quinzaine d'années, Shinichi Mochizuki a démontré une conjecture importante proposée par Alexandre Grothendieck, si bien que son annonce a suscité un grand intérêt. Toutefois, ce gage de sérieux n'est pas un gage de vérité : on a connu quelques annonces de preuves de la conjecture abc par des mathématiciens réputés qui n'ont pas résisté à l'examen. Il est donc trop tôt pour se prononcer.

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

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MATHÉMATIQUES
Accélérer les calculs de mécanique spatiale

mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°468 daté octobre 2012 à la page 18 (632 mots) | Gratuit
Une collaboration entre des spécialistes du contrôle optimal et des ingénieurs a conduit à un gain de temps sur un logiciel de calcul d'orbite.

Vos travaux mathématiques ont permis d'améliorer la mise en orbite des satellites. Comment avez-vous procédé ?

E.T. En 2005, après un séminaire que je donnais sur le contrôle optimal appliqué au spatial, Max Cerf, ingénieur chez EADS-Astrium, m'a contacté pour entamer une collaboration. Ce travail a abouti à appliquer à un logiciel de transfert d'orbite les progrès mathématiques récents en contrôle optimal. Résultat : un gain de temps de calcul d'un facteur allant jusqu'à 10. Ce gain permet aux ingénieurs d'évaluer plus de configurations dans la phase de recherche du meilleur dimensionnement du lanceur, et de raccourcir la préparation d'un vol réel lors de l'élaboration de la trajectoire.

Qu'est-ce que le contrôle optimal ?

E.T. En mathématiques appliquées, la théorie du contrôle optimal vise à commander un système pour l'amener d'une position initiale à une position finale souhaitée tout en optimisant des critères que l'on se fixe, par exemple minimiser un temps de transfert ou une consommation de carburant. Le logiciel utilisé auparavant par EADS fonctionnait sur une méthode d'optimisation directe : on explore toutes les orbites possibles avant de déterminer la solution optimale. C'est une méthode puissante mais lente, car elle explore beaucoup de possibilités. Or la théorie du contrôle optimal nous apprend que l'on peut résoudre des équations qui donnent les conditions nécessaires d'optimalité (ce que l'on appelle le « principe du maximum »), de sorte que l'on restreint les possibilités : au lieu d'explorer toutes les trajectoires,

on explore celles qui respectent ces conditions.

Quel est le gain ?

E.T. Prenons l'image d'un tireur à l'arc qui doit atteindre une cible. Explorer toutes les trajectoires revient à le laisser tirer n'importe où, avec toutes les tensions possibles sur la corde de son arc avant de trouver la trajectoire optimale. En appliquant le principe du maximum, on restreint l'exploration aux tirs dirigés vers la cible, il ne reste qu'à choisir la pente initiale de la flèche et la tension. Par analogie avec le tireur à l'arc, on baptise ce procédé « méthode de tir ».

Si cette réduction est si efficace, pourquoi ne l'avait-on pas faite auparavant ?

E.T. Parce que du point de vue mathématique, la méthode de tir n'est pas aisée à résoudre. Autant il est facile de programmer numériquement une méthode qui explore toutes les possibilités, autant sélectionner la bonne extrémale est très rapide numériquement, mais difficile à initialiser. Autrement dit, si l'on veut que la solution numérique ne devienne pas infinie, on a intérêt à initialiser le problème tout près de la solution finale. Bandons les yeux de notre tireur à l'arc et faisons-le tourner sur lui-même. Si le tireur vise n'importe où, il sera difficile de lui indiquer comment corriger son tir pour atteindre sa cible. En revanche, si le premier tir atteint déjà la cible, il sera aisé de lui indiquer les modifications à effectuer pour atteindre le centre.

Y a-t-il des astuces pour bien initialiser le problème ?

E.T. Cela a été le coeur de notre travail. Nous avons mis en oeuvre une série d'astuces techniques fondées sur une analyse géométrique fine de ce qu'on nomme le flot extrémal, c'est-à-dire de l'ensemble des solutions candidates possibles à l'optimalité. Nous avons aussi développé des outils de synthèse optimale géométrique, qui décrivent la structure locale des trajectoires et permettent d'obtenir des réductions supplémentaires dans le problème. Enfin, nous avons couplé la méthode de tir avec une méthode de continuation qui consiste à déformer le système d'équations à résoudre en un problème plus simple (lire « Le principe de continuation », ci-dessus). Il y a là-dessous des études de nature géométrique qui font partie d'une évolution très récente de la théorie du contrôle optimal [1].

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

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